Ars Docendi

Un enigma durato 4000 anni
l’avventura di uno strano numero - pigreco

di
Franco Castagnola

Assegnare una data di nascita per p è impresa decisamente ardua , p così come l’unità immaginaria "i", la base dei log "e", appartiene a quella categoria di numeri tanto speciali, quanto famosi attorno ai quali ruota tutto l’edificio matematico,e qualcuno sostiene, anche l’intero Universo.

Fra questi sicuramente p è il più antico, basti infatti pensare che già nel IV secolo a.C. i Sumeri, che come è noto, avevano ideato metodi per calcolare le aree dei campi in funzione della base e altezza degli stessi, erano riusciti a ottenere, deducendolo approssimativamente da misure concrete, il rapporto fra la circonferenza e il suo diametro, quello che noi oggi rappresentiamo appunto con il simbolo p .

p ,come ben sa anche il più distratto degli studenti, esprime , lo abbiamo appena detto, il rapporto costante tra la lunghezza "l" di una circonferenza e quella "d" del relativo diametro; oppure tra l’area "S" di un cerchio e il quadrato del suo raggio "r".

I due problemi fondamentali che il "nostro amico" ci presenta sono:

 

• Data una circonferenza, costruire un segmento lungo quanto essa, problema noto come rettificazione della circonferenza;
• Dato un cerchio, costruire un quadrato che abbia la stessa area del cerchio stesso.

I due problemi sono intimamente collegati, tanto che, risolto l’uno è risolto anche l’altro, in quanto l’area di un cerchio è "=" a quella di un triangolo rettangolo avente come cateti il raggio, e il segmento rettificante la circonferenza.

Dei due problemi il secondo è di gran lunga il più famoso, un poco per la straordinaria semplicità del suo enunciato, un poco per la difficoltà della sua risoluzione (gli innumerevoli tentativi che sono stati fatti per risolverlo, lo hanno reso famoso anche fra il grosso pubblico), ma soprattutto per la sua quadrimillenaria antichità, fatto questo che lo rende ancora più affascinante agli occhi dei matematici, come a quelli dei profani.

Nella storia di questo nostro amico (chissà se gli studenti la pensano così !) si possono distinguere vari periodi, intanto è possibile ravvisare una sorta di "preistoria di p ", periodo che registra i tentativi fatti per determinare le regole più antiche per misurare l’area del cerchio, regole, come si è già detto, empiriche di origine ignota, alcune di queste regole sono riportate nel Papiro egiziano di Rhind 2000-1800 a.C. ( scritto dall’egiziano Ahmes, e conservato nel Museo Britannico).

Conoscenze queste che ovviamente risalgono a qualche secolo prima.

In questo papiro il cerchio è detto equivalente ad un quadrato avente come lato il diametro diminuito di 1/9; i babilonesi sapevano che il raggio, riportato come corda, sta sei volte nel cerchio, per questo essi prendevano come area del cerchio quella dell’esagono regolare inscritto, procedimento questo che si trova citato anche nella Bibbia. La prima cifra infatti, è citata nel primo libro dei Re (7,23) nel quale si descrive "una vasca antistante il Tempio di Salomone, che misurava dieci cubiti da una parte all’altra, era tonda e un filo di trenta cubiti la circondava d’ogni intorno".

In pratica detta vasca era circolare con un diametro di dieci cubiti e trenta di circonferenza,dal che risulta che il rapporto circonferenza diametro era circa 3.

Nei suoi scritti Ippocrate da Chio (V sec.a.C.) afferma che ogni cerchio è proporzionale la quadrato del proprio diametro, quasi contamporaneamente Anassagora da Clazomene si era occupato di quadrare il cerchio.

Dinostrato pensa di aver risolto questo problema servendosi di una curva trascendente inventata da Ippia, mentre Antifone, contemporaneo di Socrate approssima la circonferenza partendo dal quadrato inscritto e circoscritto ,e raddoppia successivamente il numero dei lati sino a trovare un poligono che, dice Lui, per la piccolezza dei lati "coincide" con il cerchio, cosa questa che, dal punto di vista della pura astrazione, rappresenta, per l’epoca una notevole intuizione.

Questo ragionamento viene perfezionato dal suo contemporaneo Brisone il quale considera anche i poligoni regolari circoscritti.

Forse non è male citare, a titolo di pura curiosità, che in tempi recenti (1974) qualcuno, ha scritto, mentendo" che i Faraoni hanno scritto nelle piramidi i risultati di una scienza della quale ignoriamo le origini e i metodi, in tali costruzioni si troverebbero infatti (secondo tale "bufala") il calcolo esatto della durata di un anno solare, il raggio e il peso della Terra, il valore di p e via discorrendo".

Esiste dunque qualcuno che crede di aver visto nella piramide di Cheope un monumento eretto a p ben 10 secoli prima che lo scriba Ahmes insegnasse un suo metodo di quadratura del cerchio che se " rozzo" da un punto di vista del moderno matematico, porta pur sempre ad una notevole approssimazione del valore di p pari a 3 +1/6 !!!

Nel secolo scorso un certo John Taylor analizzando una pietra del rivestimento della piramide di Cheope, scoprì che questa lo portava ad una proprietà singolare nella piramide, il cui angolo di inclinazione è circa 52°, e cioè che l’altezza sta in rapporto con il perimetro come il raggio rispetto alla circonferenza e precisamente:

Una misura effettuata ha dimostrato che effettivamente la precisione di questo rapporto è dell’ 1 per mille, forse questa constatazione è stata la causa che ha scatenato le affermazioni fantasiose dell’Autore di cui sopra.

Ciò che è storicamente certo è che gli Egiziani non ebbero mai la consapevolezza teorica del problema relativo a p .

Comunque per ritornare al nostro viaggio attorno, all’amico p , è abbastanza verosimile pensare che il nostro sia nato attorno al V secolo a.C. anche se si è trattato ,è bene dirlo, della nascita di un neonato senza nome, in quanto il simbolo oggi usato da tutti noi, è stato introdotto dal grande matematico Eulero ben 22 secoli dopo.

Veramente importante è invece il contributo dato da Archimede, questi cominciò col dimenticare i limiti che gli si ponevano, rinunciò a servirsi di riga e compasso e fece funzionare quella che costituisce la più grande ricchezza che la Natura possa dare a un matematico, la "fantasia della ragione".

Archimede dunque ,seguendo il precedente di Antifone, immaginò la circonferenza come compresa fra due insiemi di poligoni regolari, uno inscritto e l’altro circoscritto alla circonferenza stessa, partendo da un poligono di sei lati e continuando a raddoppiare 6,12,......si fermò a 96 (non aveva la calcolatrice..!!), vide che i perimetri di entrambi gli insiemi di poligoni davano luogo a due successioni, e che tali successioni "andavano via via avvicinandosi ,oggi diciamo, convergevano verso un <VALORE VERO x > purtroppo -ahinoi- irraggiungibile, del nostro amico.

Continuando indefinitamente questo procedimento, è chiaro che esso ci porta, ad una convergenza delle due successioni via via sempre più "fine" e tendente ad un "limite comune che è la lunghezza della circonferenza"; a questo punto è evidente che se il diametro della circonferenza è unitario, tale limite comune è proprio il valore di p .

Il lavoro di Archimede ha portato a dimostrare alcune cose:

1. Un cerchio è equivalente ad un triangolo rettangolo di cui un cateto è il raggio e l’altro il segmento rettificante la circonferenza;
2. Il cerchio sta al quadrato del diametro circa come 11 sta a 14;
3. La lunghezza della circonferenza è ed è

pertanto quest’ultimo teorema fornisce:

Resta solo da segnalare che Archimede utilizzò un metodo che sarebbe stato ufficializzato da Weirestrass e Cantor ben 21 secoli dopo.

Dopo Archimede la frazione 22/7 diventa di uso corrente nelle misure relative al cerchio; c’è solo da aggiungere che fino al XVII secolo, p passa un poco di moda, come diremmo oggi, si ha un periodo di quiescenza nel quale la storia registra solo piccoli perfezionamenti del metodo, usato da Archimede, perfezionamenti che hanno come scopo la conoscenza di un maggior numero di decimali di p .

Nel 2° secolo Tolomeo ne dà una scrittura in forma sessagesimale ossia:

;

nessun contributo viene dai Romani, grandi nel diritto, ma pessimi matematici, poco anche dai Cinesi, qualche cosa dagli Indiani (acthung, quelli delle Indie Orientali) che oltre al valore 3,1416 danno anche il valore Ö 10, è bene precisare che presso gli Indiani, il valore 22/7 era in uso sin dai tempi antichissimi, lo stesso, cioè scarso contributo, si puo’ pure dire per gli Arabi.

Un impulso nella ricerca si verifica durante il Rinascimento a seguito dell’adozione delle cifre indo-arabiche, queste infatti facilitando i calcoli, hanno permesso un calcolo più semplice dei valori migliori di p , nessun passo avanti però viene fatto sulla natura di questo numero.

Nella prima metà del ‘500 Oronzo Fineo dice che p è esattamente eguale a , l’olandese Métius dà il valore approssimato con sei cifre esatte; a sua volta Viète fornisce nove cifre, spingendo il metodo di Archimede fino ai poligoni di 6 · 2¹⁶ lati.

Nel 1873 l’inglese Shanks spinse il calcolo sino alla 707-esima cifra.

Un altro grande matematico di Colonia, Ceulen Van Ludolph , impegna tutta la sua vita sul metodo di Archimede giungendo sino ai poligoni di 60 · 2²⁹ lati e calcolando quindi ben 35 cifre decimali di p .

Si arriva così alla prima metà del secolo XVII quando Snellius e Huygens, perfezionando sensibilmente il metodo di Archimede arrivano a calcolare 9 cifre dal poligono di 60 lati, e già tre dal semplice triangolo equilatero.

Dalla metà del secolo XVII sino al 1767 si ha quello che può essere considerato un secondo periodo nelle storia di p , in esso vengono adoperati , per la nostra ricerca, mezzi più potenti, messi a disposizione dalla nuova analisi, i ricercatori si avvalgono ora di sviluppi in serie, in frazioni continue, in prodotti infiniti, per calcolare valori approssimati, del nostro numero, sempre migliori.

E’ necessario però precisare che questi nuovi strumenti di calcolo vengono usati, dai ricercatori dell’epoca, con un entusiasmo che porta, come conseguenza, ad una certa disinvoltura, anche da parte degli scienziati migliori, comunque il primo sviluppo di in prodotto infinito, è stato dato da Viète nel 1579 ed il valore dato dalla seguente espressione:

che storicamente rappresenta la prima definizione analitica di p .

Effettivamente in quest’epoca si ha tutto un fiorire di ricerche, tanti sono gli sviluppi di p in procedimenti infiniti per cui non è il caso di riferirli tutti; degni di menzione fra i più notevoli sono la formula di J.Wallis (1656):

La serie di Gregory e Leibniz:

La formula di Eulero : dalla quale deriva , relazione che pone un legame fra il numero "e ", e , p fu questa appunto che permise ,in seguito, di decidere quale fosse la natura di p stesso.

Nel 1706 J. Machin ha trovato la formula

con la quale riuscì a calcolare 100 cifre decimali del numero.

Con questa formula o con altre simili G. von Vega nel 1794 ne calcolo’136; Z. Dase nel 1884 ne calcolò 200, e 707 furono calcolate da W.Shanks nel 1873.

Questo ciclo di p può considerarsi chiuso con il 1767 anno in cui H. Lambert, a conclusione di lunghi studi, è riuscito a dimostrare che se x è razionale, tangx è irrazionale, e viceversa , da questa considerazione ponendo segue che p è un numero irrazionale.

Finalmente si è giunti ad una prima cognizione certa sulla natura di p , raggiunta questa certezza il calcolo di ulteriori cifre decimali, volta alla ricerca di una fine o di un eventuale periodo, non ha più alcun significato e valore scientifico, tranne quello di un divertimento e passatempo curioso.

Nel terzo periodo di questa storia, l’irrazionalità del nostro numero, è stata ancora una volta dimostrata da A.M. Legendre nel 1794, che riuscì anche a dimostrare l’irrazionalità di p².

Più vicino ai nostri giorni, e precisamente nel 1974, I.Niven ha dato ancora una volta una semplice e nuova dimostrazione della ormai ben nota irrazionalità.

Possiamo dire, a questo punto che, la millenaria questione di p è stata risolta da J.Liouville che nel 1844, ha dimostrato l’esistenza di numeri molto particolari, cioè numeri che non sono radici di nessuna equazione algebrica a coefficienti razionali, noti oggi col nome di numeri trascendenti.

Nel 1873 Ch.Hermite ha dimostrato che "e" è un numero trascendente. Per concludere nel 1882, F.Lindemann, noto come "il vincitore di p", ha dimostrato che anche p è trascendente.

A tutto questo si può forse aggiungere un quarto periodo in quanto con l’invenzione dei calcolatori è ripreso il calcolo delle cifre decimali del nostro numero allo scopo di studiare, da un punto di vista statistico, la frequenza delle singole cifre decimali; nel 1959, in un’ora e 40 minuti, sono state calcolate 10000 cifre decimali di p senza rilevare alcuna particolarità nella frequenza delle singole cifre.

A questo punto si pone obbligatoriamente la domanda se i due problemi fondamentali citati all’inizio siano o no risolvibili. La risposta ovviamente dipende dai mezzi e strumenti con i quali ci si propone di operare. Se ci poniamo in un punto di vista elementare, quello tanto per chiarirci, della geometria degli antichi, ossia se si vogliono risolvere quei problemi con una costruzione geometrica, in cui si tracciano rette e circonferenze, o come si suol dire, con riga (ad un bordo solo) e il compasso, la risposta non può che essere NO.

Ogni costruzione di questo tipo infatti equivale ad un sistema di equazioni algebriche, che come si è visto ,non possono risolvere problemi trascendenti, in altre parole questa in esame è una categoria di problemi che non può essere risolta adoperando strumenti che consentano soltanto di tracciare curve algebriche.

La risoluzione diventa possibile con strumenti adeguati, ad esempio con uno strumento che consentisse di disegnare la curva quadratica di Ippia e Dinostrato.

Ovviamente è possibile eseguire, con riga e compasso, delle costruzioni che rettificano la circonferenza o quadrano il cerchio in modo approssimato.

Basterebbe, ad esempio, utilizzare nelle costruzioni la frazione di Archimede .

In definitiva si può affermare con sicurezza che chi si accingesse a "quadrare il cerchio" con mezzi elementari è condannato a sicuro insuccesso, lo studioso che invece si limiti a dare soluzioni approssimate, potrà forse fare qualche cosa di interessante, ma certamente nulla di "meraviglioso".

Possiamo concludere questo escursus storico su uno dei numeri che più hanno solleticato la curiosità dei matematici con queste considerazioni:

• Le successive approssimazioni dei valori diciamo "storici" di p sono 14/314 pari al 4,5% per il valore biblico.

• L’errore calcolato da Ahmes è inferiore a 2 / 316, vale a dire il 6 per 1000 all’incirca; il valore Indiano e di Archimede presenta un errore di 4 decimillesimi, mentre il risultato di Metius, se si pone al settimo posto dopo la virgola un 9 invece di un 7, è errato di 2 / 31.415.927 vale a dire di una parte su 15 milioni.

• Il valore trovato da Viete è errato a meno di un miliardesimo.

Franco Castagnola è stato titolare di Matematica nel Corso Geometri fino all'a.s. 2000-2001