Ars Docendi
Elevazione a Potenza
Molte volte si presenta il caso di dover
considerare un prodotto, i cui fattori sono uguali fra loro.Per indicare
questo particolare prodotto si è coniato il termine "Potenza".
Per esempio
2 x
2 x 2 x 2 x 2 ; a x
a x a x a ; (a+b)(a+b)(a+b)
sono potenze.
Si è convenuto di rappresentare ,in modo
pratico, questi prodotti stabilendo di scrivere prima il numero ripetuto
come fattore, e chiamato base della potenza, e poi un poco piu’ in
alto a destra il numero dei fattori del prodotto, chiamato esponente.
Grazie a questa convenzione i prodotti visti
prima si rappresentano col le scritture:
25; a4;
(a+b)3
A questo punto siamo in grado di dare la
seguente definizione:
" Si chiama potenza di un numero qualsiasi
"a" con esponente "n",
intero maggiore di 1, il prodotto di n
fattori uguali ad a.
Dunque per definizione:
an = aaaaa……a
= n volte.
Dal momento che potenza vuoldire prodotto
di fattori uguali, e siccome un prodotto deve avere almeno 2 fattori,
l’esponente della potenza deve essere un numero naturale non
minore di 2.
Allo scopo di evitare eccezioni vediamo ora
di dare significato anche agli esponenti 0 , 1 ,
-1 , -2 ........-n.
Allo scopo chiameremo successione di potenze
del numero "a" la successione:
a2,
a3 , a4 , a5 , a6 , ……………,
an ……
Ogni potenza di questa successione ha una
e una sola successiva, che è la potenza con la stessa base e con l’esponente
successivo di quello della potenza considerata; ed una sola precedente,
(fatta eccezione per la prima), che è la potenza con la stessa base e
con l’esponente precedente di quello della potenza considerata.
Ora se an
è una qualunque potenza della successione allora:
| an
a=(aaaa…..a)a |
per definizione di potenza |
| <.....n
volte.....> |
|
| =(aaaa...........aa) |
per la convenzione precedente |
|
<.....n+1volte.....>
|
|
| = an+1 |
per definizione di potenza |
In altre parole:
-
se si moltiplica una potenza per la
base si ottiene la potenza successiva, e inversamente;
-
se si divide una potenza della successione,che
non sia la prima, per la base,supposta diversa da zero, si ottiene
la potenza precedente.
Queste due regole costituiscono la legge
di successione delle potenze di uno stesso numero.
Volendo ora dare il nome di potenze anche
a simbolo della forma:
a0,
a1, a-1, a-2, etc.
bisogna vedere se è possibile dare ad essi
significato tale che resti valida la legge di successione delle potenze.
Per tale legge dovrebbe essere:
a2
: a = a1
(1) per la legge di successione
d’altra parte
a2
: a = (aa) : a (2)
per definizione di potenza
= a (3) per definizione di quoto
confrontando la (1) con la (3) dobbiamo convenire
che:
a1
= a
(I)
Ora per la stessa legge si dovrebbe avere:
a1
: a = a0
però
a1
: a = a : a per
la convenzione (I)
=
1 per la definizione di quoto,
dobbiamo allora convenire che
a0
= 1 (II)
Continuando con il nostro ragionamento si
ha:
a0
: a = a-1
per
la legge di successione
però
1:a
= 1 / a per
la convenzione II e per la definizione di quoto.
A questo punto bisogna convenire che:
a-1
= 1 / a
(III)
Seguendo con il ragionamento si arrivera’
quindi a convenire che:
a-2
= 1 / a2
e in generale che:
a-n
= 1 / an
Le considerazioni precedenti giustificano
le definizioni:
- Si chiama potenza
di un numero qualunque a con
esponente 1, il numero stesso;
- Si chiama potenza
di un numero qualunque a
(diverso da 0) con esponente 0
l’unità;
- Se n
è un numero intero >0,
si chiama potenza di un numero qualsiasi a
(diverso da 0) con esponente
-n, la frazione avente come
numeratore 1
e come denominatore la potenza di a
con esponente +n.
Possiamo ora chiamare successione di potenze
del numero a la successione completata:
a-n
.........a-2 , a-1 , a-0 , a1
, a2 , a3
ossia
.......
1 / an........., 1 / a2, 1 / a, 1 , a1,
a2, a3.........
Franco Castagnola
è stato titolare di Matematica nel Corso Geometri fino
all'a.s. 2000-2001.
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