Ars Docendi
La
geometria prima di Euclide
(Le origini della geometria)
Le origini della geometria si possono far risalire
agli albori della civiltà, quando l’uomo sotto la spinta delle proprie
necessità, determinò un certo numero di regole per risolvere alcuni problemi
pratici, quali, ad esempio, il calcolo delle aree dei terreni.
E’ la stessa parola, geometria,
di derivazione greca, a ricordarci tale origine, infatti il suo significato
etimologico è: misurazione della Terra.
La più antica geometria, di cui abbiamo notizie
certe, risale ad alcuni millenni prima della nascita di Cristo e la si deve
agli Assiro-Babilonesi ed agli Egiziani.
I documenti che possediamo su tale civiltà sono
costituiti da numerose tavolette di argilla ricoperte di scrittura detta cuneiforme,
perché formata da segni con forma di cunei, ovvero di piccoli chiodi. In pratica
possiamo considerare queste tavolette come i più antichi libri a noi noti ,risalgono
infatti ad almeno 2000 anni a.C..
Recano incisa la risoluzione di alcuni problemi
geometrici, e dalla loro lettura si deduce che gli studiosi Assiro-Babilonesi
conoscevano le regole per il calcolo delle aree delle figure piane più semplici
e dei volumi di alcuni solidi.
Fra i documenti che ci sono pervenuti, il più
importante, relativo alle conoscenze matematiche degli Egiziani , è quello noto
con il nome di "Papiro di Rhind", scritto tra il 1788 e il
1580 a.C. è ,in realtà, la copia di un altro documento più antico scritto tra
il 1849 e il 1801 a.C..
Questo importantissimo documento è una raccolta
di problemi risolti, molti geometrici, che si ritiene non fossero altro che
modelli per la risoluzione di altri problemi analoghi a quelli citati in esso.
Anche da questo "Papiro" si rileva
che anche gli Egiziani conoscevano le regole per il calcolo delle aree e volumi
più semplici.
E’ bene sottolineare che sia presso gli
Assiri-Babilonesi sia presso gli Egiziani, la Geometria aveva un carattere esclusivamente
pratico, essendo infatti costituita da regole determinate empiricamente.
Come abbiamo dunque visto, nella sua forma primitiva,
la geometria ha cominciato a costituirsi nell’antica Babilonia e in Egitto.
Essa aveva a che fare, si è detto, con la misura
degli oggetti fisici, con problemi pratici tipo la lunghezza di un pezzo di
corda o di stoffa, l’area di un campo, o il volume di un cesto.
Nel problema della misura si possono individuare
tre passi:
- la scelta di una unità di misura;
- la riproduzione di questa unità;
- il contare il numero di volte che l’unità è contenuta
nell’oggetto che si vuole misurare.
Ad esempio per misurare la superficie di un
piano si potrebbe scegliere come unità un particolare quadrato e vedere quante
volte esso è contenuto nella superficie in esame.
Il problema importante è rendere questa terza
operazione il più veloce possibile.
I sacerdoti babilonesi avevano, più di 5000
anni fa, una certa familiarità con questo aspetto del problema; sebbene non
possedessero ancora un simbolismo algebrico essi erano a conoscenza della formula
dell’area di un rettangolo e di quella del volume di un cilindro.
I babilonesi fecero un primo tentativo di rendere
più generale la formula dell’area del rettangolo adattandola ad un quadrilatero
di forma qualsiasi.
Dalle poche notizie che ci sono pervenute sappiamo
che essi risolvevano il problema in questo modo
questa formula risale a circa 3000 anni A.C.
Essa rappresenta un buon passo avanti ( per
l’epoca) però è corretta solo quando il quadrilatero è un rettangolo.
Con lo stesso ragionamento cercavano di calcolare
il volume di un cesto:
formula, anche questa, che è corretta solo se
b=b’.
Gli Egiziani, 1000 anni dopo fecero dei passi
avanti nell’avvicinarsi al valore vero nel calcolo del volume di un tronco
di piramide:
usando la formula sopra riportata al posto di
quella dei Babilonesi
Si noti che nella formula egiziana compare il
termine ab che è la media geometrica fra a2
e b2 e che rappresenta l’area di un rettangolo
di lati a , b.
Ancora i Babilonesi avevano capito che fra la
lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo e i due cateti c’era
una relazione che rappresentavano con la seguente formula
Per a=4 e b=3 essi trovavano 
mentre il valore vero è 5 ( si trattava quindi di una buona approssimazione).
I topografi Egiziani, a loro volta sapevano
che disponendo una cordicella con nodi, come in figura, potevano ottenere un
triangolo rettangolo.
Quando i Babilonesi, come gli Egiziani valutavano
un volume, era sempre il volume di un particolare oggetto fisico, esempio un
cesto di grano o un blocco di pietra.
Le notizie sulle conoscenze geometriche degli
antichi Egizi, ci provengono da Erodoto (V sec. A.C.) e da Proclo
(IV sec. A.C.) il quale si basava sulla testimonianza di Eudemo di Rodi
(circa 320 A.C.).
Solo un millennio dopo, nel VI secolo a.C.,
la Geometria in particolare, ma anche tutta la Matematica,cominciò a subire
una trasformazione profonda, cominciò ad essere coltivata e sviluppata in sé
e per sé, e non più con l’unico obiettivo delle applicazioni pratiche,
da quel momento cominciò a diventare una vera scienza del pensiero.
Gli artefici di questa importante trasformazione
furono principalmente Talete, Pitagora, Euclide e Archimede.
Vediamo come maturò questa trasformazione:
A lungo andare però cominciò a farsi strada
una nuova idea, quella che il volume non fosse una proprietà legata alla particolare
sostanza, tipo grano, farina, sabbia ecc., ma invece una proprietà indipendente
da essa, cioè un dato cesto ha lo stesso volume sia che contenga grano sia contenga
sabbia.
Pian piano comincia a farsi strada il concetto
di astrazione; se noi osserviamo gli oggetti del mondo materiale notiamo
che essi hanno ,oltre alle proprietà inerenti la materia che li costituisce,
due proprietà comuni a tutti: la Forma e l’Estensione (capacità
di occupare dello spazio) ora se di ogni corpo materiale immaginiamo di trascurare
le sue proprietà strettamente materiali, quali peso, colore, lucentezza, temperatura,
conducibilità elettrica ecc., di esso ci rimane soltanto "un’idea"
di quel corpo.
A tutti noi è capitato di osservare oggetti
che rappresentano figure geometriche e contemporaneamente di rilevare la loro
imprecisione e imperfezione, e di conseguenza a tutti è capitato di sentire
la necessità di separare l’oggetto materiale dall’idea che
quell’oggetto ci suggerisce.
Per esempio se di una boccetta di biliardo,
trascuriamo il fatto che essa sia di avorio, il suo colore, peso ecc., ecco
che alla nostra mente si affaccia "per astrazione" l’idea del
corrispondente corpo geometrico, cioè la sfera.
Uno dei più grandi filosofi greci Platone
soleva dire: "I Geometri si valgono di figure sensibili(materiali) e
sopra di esse ragionano, non pensando ad esse, ma a quelle di cui esse sono
l’immagine".
Le figure geometriche quindi non sono oggetti
materiali che possono essere percepiti dai nostri sensi, ma dei puri concetti,
enti astratti o ideali che possono essere solo pensati.
Il primo a formulare il concetto astratto di
spazio fu il filosofo greco Talete di Mileto (640-546 A.C.). Talete
era un mercante che attraverso i suoi viaggi aveva grandi contatti con gli Egiziani
e essendo dotato di una mentalità filosofica, colse le idee fondamentali degli
studiosi egiziani e le portò in Grecia dove ebbero grande impulso grazie ad
un altro grande studioso Euclide.
Inizialmente dunque i concetti in geometria
erano provati empiricamente, cioè mediante esperimenti in cui particolari configurazioni
venivano osservate e misurate.
Con l’impulso dato dai "geometri"
greci, in particolare Talete ed Euclide si perviene ad un nuovo
modo, totalmente diverso, di impostare le cose e si arriva alla geometria Euclidea
come scienza basata sul ragionamento.
E’ bene ricordare che in ogni scienza basata
sul ragionamento ogni concetto nuovo viene introdotto, definito, attraverso
altri già noti in precedenza, questi a loro volta erano stati definiti mediante
altri noti in precedenza ancora; a questo punto si pone la domanda se sia lecito
pensare di procedere cosi’ a ritroso indefinitamente o se ci si debba fermare
ad un certo punto.
Poiché per la mente umana non è razionale la
prima ipotesi, è necessario ammettere che in qualsiasi disciplina esistono dei
concetti che costituiscono la sua base, e che essendo i primi di quella scienza
vengono chiamati primitivi, e di essi non si dà alcuna definizione.
In geometria (scienza razionale per eccellenza)
i concetti, meglio ancora, gli Enti Primitivi sono il punto, la
retta ed il piano, che non possono, a questo punto è evidente,
essere definiti. Per mezzo loro poi si definiscono tutte le altre figure geometriche.
Così come non è possibile definire tutti i concetti
allo stesso modo non è possibile dimostrare tutte le proprietà.
Infatti, dal momento che una proprietà si deduce
da una o più altre note in precedenza, e queste a loro volta, da altre note
in precedenza ancora e via di seguito senza termine, non resterebbe mai dimostrata
la prima proprietà considerata, è così evidente, ancora una volta, che questo
procedimento deve arrestarsi ad un certo punto, ad alcune proprietà la cui verità
deve essere ammessa, senza dimostrazione.
Gli enunciati di queste verità vengono chiamati
assiomi o anche postulati; postulato è un termine che deriva
dal latino "postulare" cioè chiedere.
I postulati sono quindi frasi che esprimono
delle proprietà che i matematici chiedono siano accettate come vere e
dalle quali poi, mediante il ragionamento, verranno dedotte altre proprietà,
al cui enunciato si da il nome di teorema.
Franco Castagnola
è stato titolare di Matematica nel Corso Geometri fino all'a.s.
2000-2001.
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