Ars Docendi
La geometria prima di Euclide
(Le origini della geometria)
Le origini della geometria si possono far
risalire agli albori della civiltà, quando l’uomo sotto la spinta delle proprie
necessità, determinò un certo numero di regole per risolvere alcuni problemi
pratici, quali, ad esempio, il calcolo delle aree dei terreni.
E’ la stessa parola,
geometria, di derivazione greca, a ricordarci tale origine,
infatti il suo significato etimologico è: misurazione della Terra.
La più antica geometria, di cui abbiamo
notizie certe, risale ad alcuni millenni prima della nascita di Cristo e la si
deve agli Assiro-Babilonesi ed agli Egiziani.
I documenti che possediamo su tale civiltà
sono costituiti da numerose tavolette di argilla ricoperte di scrittura detta
cuneiforme, perché formata da segni con forma di cunei, ovvero di piccoli
chiodi. In pratica possiamo considerare queste tavolette come i più antichi
libri a noi noti ,risalgono infatti ad almeno 2000 anni a.C..
Recano incisa la risoluzione di alcuni
problemi geometrici, e dalla loro lettura si deduce che gli studiosi
Assiro-Babilonesi conoscevano le regole per il calcolo delle aree delle figure
piane più semplici e dei volumi di alcuni solidi.
Fra i documenti che ci sono pervenuti, il più
importante, relativo alle conoscenze matematiche degli Egiziani , è quello noto
con il nome di "Papiro di Rhind", scritto tra il 1788 e il 1580 a.C. è
,in realtà, la copia di un altro documento più antico scritto tra il 1849 e il
1801 a.C..
Questo importantissimo documento è una
raccolta di problemi risolti, molti geometrici, che si ritiene non fossero altro
che modelli per la risoluzione di altri problemi analoghi a quelli citati in
esso.
Anche da questo "Papiro" si rileva che anche
gli Egiziani conoscevano le regole per il calcolo delle aree e volumi più
semplici.
E’ bene sottolineare che sia presso gli
Assiri-Babilonesi sia presso gli Egiziani, la Geometria aveva un carattere
esclusivamente pratico, essendo infatti costituita da regole determinate
empiricamente.
Come abbiamo dunque visto, nella sua forma
primitiva, la geometria ha cominciato a costituirsi nell’antica Babilonia e in
Egitto.
Essa aveva a che fare, si è detto, con la
misura degli oggetti fisici, con problemi pratici tipo la lunghezza di un pezzo
di corda o di stoffa, l’area di un campo, o il volume di un cesto.
Nel problema della misura si possono
individuare tre passi:
- la scelta di una unità di misura;
- la riproduzione di questa unità;
- il contare il numero di volte che l’unità è contenuta
nell’oggetto che si vuole misurare.
Ad esempio per misurare la superficie di un
piano si potrebbe scegliere come unità un particolare quadrato e vedere quante
volte esso è contenuto nella superficie in esame.
Il problema importante è rendere questa terza
operazione il più veloce possibile.
I sacerdoti babilonesi avevano, più di 5000
anni fa, una certa familiarità con questo aspetto del problema; sebbene non
possedessero ancora un simbolismo algebrico essi erano a conoscenza della
formula dell’area di un rettangolo e di quella del volume di un cilindro.
I babilonesi fecero un primo tentativo di
rendere più generale la formula dell’area del rettangolo adattandola ad un
quadrilatero di forma qualsiasi.
Dalle poche notizie che ci sono pervenute
sappiamo che essi risolvevano il problema in questo modo
questa formula risale a circa 3000 anni A.C.
Essa rappresenta un buon passo avanti ( per
l’epoca) però è corretta solo quando il quadrilatero è un rettangolo.
Con lo stesso ragionamento cercavano di
calcolare il volume di un cesto:
formula, anche questa, che è corretta solo se
b=b’.
Gli Egiziani, 1000 anni dopo fecero dei passi
avanti nell’avvicinarsi al valore vero nel calcolo del volume di un tronco di
piramide:
usando la formula sopra riportata al posto di
quella dei Babilonesi
Si noti che nella formula egiziana compare il
termine ab che è la media geometrica fra a2
e b2 e che rappresenta l’area di un rettangolo di
lati a , b.
Ancora i Babilonesi avevano capito che fra la
lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo e i due cateti c’era una
relazione che rappresentavano con la seguente formula
Per a=4 e b=3 essi trovavano 
mentre il valore vero è 5 ( si trattava quindi di una buona
approssimazione).
I topografi Egiziani, a loro volta sapevano
che disponendo una cordicella con nodi, come in figura, potevano ottenere un
triangolo rettangolo.
Quando i Babilonesi, come gli Egiziani
valutavano un volume, era sempre il volume di un particolare oggetto fisico,
esempio un cesto di grano o un blocco di pietra.
Le notizie sulle conoscenze geometriche degli
antichi Egizi, ci provengono da Erodoto (V sec. A.C.) e da Proclo
(IV sec. A.C.) il quale si basava sulla testimonianza di Eudemo di Rodi
(circa 320 A.C.).
Solo un millennio dopo, nel VI secolo a.C., la
Geometria in particolare, ma anche tutta la Matematica,cominciò a subire una
trasformazione profonda, cominciò ad essere coltivata e sviluppata in sé e per
sé, e non più con l’unico obiettivo delle applicazioni pratiche, da quel momento
cominciò a diventare una vera scienza del pensiero.
Gli artefici di questa importante
trasformazione furono principalmente Talete, Pitagora, Euclide
e Archimede. Vediamo come maturò questa trasformazione:
A lungo andare però cominciò a farsi strada
una nuova idea, quella che il volume non fosse una proprietà legata alla
particolare sostanza, tipo grano, farina, sabbia ecc., ma invece una proprietà
indipendente da essa, cioè un dato cesto ha lo stesso volume sia che contenga
grano sia contenga sabbia.
Pian piano comincia a farsi strada il concetto
di astrazione; se noi osserviamo gli oggetti del mondo materiale notiamo
che essi hanno ,oltre alle proprietà inerenti la materia che li costituisce, due
proprietà comuni a tutti: la Forma e l’Estensione (capacità di
occupare dello spazio) ora se di ogni corpo materiale immaginiamo di trascurare
le sue proprietà strettamente materiali, quali peso, colore, lucentezza,
temperatura, conducibilità elettrica ecc., di esso ci rimane soltanto "un’idea"
di quel corpo.
A tutti noi è capitato di osservare oggetti
che rappresentano figure geometriche e contemporaneamente di rilevare la loro
imprecisione e imperfezione, e di conseguenza a tutti è capitato di sentire la
necessità di separare l’oggetto materiale dall’idea che quell’oggetto ci
suggerisce.
Per esempio se di una boccetta di biliardo,
trascuriamo il fatto che essa sia di avorio, il suo colore, peso ecc., ecco che
alla nostra mente si affaccia "per astrazione" l’idea del corrispondente corpo
geometrico, cioè la sfera.
Uno dei più grandi filosofi greci Platone
soleva dire: "I Geometri si valgono di figure sensibili(materiali) e sopra
di esse ragionano, non pensando ad esse, ma a quelle di cui esse sono l’immagine".
Le figure geometriche quindi non sono oggetti
materiali che possono essere percepiti dai nostri sensi, ma dei puri concetti,
enti astratti o ideali che possono essere solo pensati.
Il primo a formulare il concetto astratto di
spazio fu il filosofo greco Talete di Mileto (640-546 A.C.). Talete
era un mercante che attraverso i suoi viaggi aveva grandi contatti con gli
Egiziani e essendo dotato di una mentalità filosofica, colse le idee
fondamentali degli studiosi egiziani e le portò in Grecia dove ebbero grande
impulso grazie ad un altro grande studioso Euclide.
Inizialmente dunque i concetti in geometria
erano provati empiricamente, cioè mediante esperimenti in cui particolari
configurazioni venivano osservate e misurate.
Con l’impulso dato dai "geometri" greci, in
particolare Talete ed Euclide si perviene ad un nuovo modo,
totalmente diverso, di impostare le cose e si arriva alla geometria Euclidea
come scienza basata sul ragionamento.
E’ bene ricordare che in ogni scienza basata
sul ragionamento ogni concetto nuovo viene introdotto, definito, attraverso
altri già noti in precedenza, questi a loro volta erano stati definiti mediante
altri noti in precedenza ancora; a questo punto si pone la domanda se sia lecito
pensare di procedere cosi’ a ritroso indefinitamente o se ci si debba fermare ad
un certo punto.
Poiché per la mente umana non è razionale la
prima ipotesi, è necessario ammettere che in qualsiasi disciplina esistono dei
concetti che costituiscono la sua base, e che essendo i primi di quella scienza
vengono chiamati primitivi, e di essi non si dà alcuna definizione.
In geometria (scienza razionale per
eccellenza) i concetti, meglio ancora, gli Enti Primitivi sono il
punto, la
retta ed il piano, che non possono, a questo punto è evidente,
essere definiti. Per mezzo loro poi si definiscono tutte le altre figure
geometriche.
Così come non è possibile definire tutti i
concetti allo stesso modo non è possibile dimostrare tutte le proprietà.
Infatti, dal momento che una proprietà si
deduce da una o più altre note in precedenza, e queste a loro volta, da altre
note in precedenza ancora e via di seguito senza termine, non resterebbe mai
dimostrata la prima proprietà considerata, è così evidente, ancora una volta,
che questo procedimento deve arrestarsi ad un certo punto, ad alcune proprietà
la cui verità deve essere ammessa, senza dimostrazione.
Gli enunciati di queste verità vengono
chiamati
assiomi o anche postulati; postulato è un termine che
deriva dal latino "postulare" cioè chiedere.
I postulati sono quindi frasi che
esprimono delle proprietà che i matematici chiedono siano accettate come
vere e dalle quali poi, mediante il ragionamento, verranno dedotte altre
proprietà, al cui enunciato si da il nome di teorema.
Franco Castagnola
è stato titolare di Matematica nel Corso Geometri fino all'a.s.
2000-2001.
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