Ars Docendi
Pitagora il Tao e la radice
di due 1
Dalla gematria (l'antico artificio magico di tradurre
in numeri le parole e le parole in numeri), alla cabala; dal culto pitagorico
e taoista del numero alle credenze che attribuivano speciali poteri a
certi numeri e che sono giunte sino a noi lasciando tracce profonde nelle
superstizioni popolari, il rapporto dell'uomo con la cifra è sempre
stato segnato da una sorta di sospetto, di reverente diffidenza, di timore.
La conquista dell'astratto concetto di numero è stata
così lunga e faticosa e difficile che l'uomo non ha mai saputo, in fondo,
capacitarsene interamente; e ha finito, come troppo spesso in verità gli
capita, per strappare da sé la propria creazione e considerarla una sorta
di entità magica esistente per sé, da temere e adorare:
"Benedetto tu sia, numero divino, tu che generi gli
uomini! O sacra tetraktis, tu che contieni la radice e la fonte della
creazione sempiterna! Infatti il numero divino comincia con la profonda,
pura unità finché arriva al sacro quattro; poi genera la madre di tutto,
la sacra decade che tutto comprende e tutto limita, la primigenia che
mai devia e mai è stanca, e possiede la chiave di tutte le cose".
Tale era la preghiera che i pitagorici rivolgevano alla
serie dei primi quattro numeri (la sacra decade ne è la somma: 1+2+3+4
= 10 ) che rappresentavano i quattro elementi: fuoco, aria, acqua,
terra.
In modo non troppo dissimile la cosmologia taoista del
contemporaneo Lao Tsû si basava sui numeri:
"Il Tao produsse l'uno / l'uno produsse il due /
il due produsse il tre / il tre dette vita a tutti gli esseri"
e i più antichi babilonesi avevano assegnato un nome a
ciascuno dei 60 numeri che costituivano la base del loro sistema sessagesimale,
del quale restano tracce tuttora vitali e operanti nel nostro modo di
misurare gli angoli e il tempo.
A proposito dei babilonesi e di Pitagora, è giunto il
momento di ristabilire i diritti della storia contro l'interessato luogo
comune della cultura occidentale che vuol vedere a tutti i costi nei greci
l'inizio della razionalità e che ha accreditato l'improbabile versione
di Pitagora scienziato e matematico.
Mentre è perfettamente chiaro - e senza voler con questo
sminuire il contributo incalcolabile che i greci e la stessa scuola pitagorica
apportarono allo sviluppo della cultura e all'affinamento della razionalità
- che il cammino fondamentale era già stato svolto e non solo il concetto
di numero era già una conquista permanente dell'umanità, ma tecniche di
calcolo raffinatissime erano in uso da più di due millenni presso le popolazioni
della Mesopotamia (e in parte dell'Egitto): così avanzate che il giovane,
geniale, sensibile Pitagora - proveniente da un paese che nonostante i
recenti formidabili progressi stava appena affacciandosi alle soglie della
civiltà - dovette esserne tanto sbalordito e così profondamente impressionato
da sentirsi chiamato a una vera missione di sacerdozio (di conoscenza
e di adorazione) nei confronti delle entità misteriose e intensamente
magiche che producevano tanti prodigi.
Che poi questa adorazione, con l'attenzione ossessiva
che destò per le mirabolanti proprietà dei numeri, finisse per creare
le basi per un poderoso sviluppo della scienza, è tutto un altro discorso,
e senz'altro vero: così come è vero che i maghi e gli alchimisti dell'Europa
medioevale, nella loro ricerca di pozioni miracolose e della pietra filosofale
propiziarono la nuova scienza: ma come nessuno si sogna di confondere
Lavoisier con Paracelso, così è opportuno con confondere tutti i greci
in un sol mazzo solo perché vissero sulla stessa terra; e non mescolare
gli atteggiamenti di un Archimede con quelli di un Pitagora: il cui apporto
alla scienza, seppure fondamentale, è stato in qualche modo involontario
e per così dire una sorta di sottoprodotto della sua mistica dedizione
alla conoscenza del Dio Numero, la cui potenza lo sconcertava, l'affascinava,
lo terrorizzava.
Tutti sanno ormai che il teorema cosiddetto "di Pitagora"
era già noto, almeno in alcuni casi, in Egitto da più di un millennio;
mentre in Mesopotamia le applicazioni e gli esercizi col teorema sono
così estesi che si può pensare che i babilonesi di 4.000 anni fa conoscessero
la regola generale; è certo che sapevano adoperare la Ö2
il cui valore calcolavano con una differenza di 0,000008 dal valore "vero".
Ma forse non tutti sanno che non è certamente per merito
di Pitagora se noi oggi siamo in possesso della dimostrazione del teorema
che porta il suo nome: fu infatti un discepolo che, violando la ferrea
regola della setta che imponeva il segreto a tutti gli aderenti, divulgò
l'allarmante novità e per questo, si dice, fu ucciso.
Ippaso è il nome che si tramanda dell'illuminato traditore:
vogliamo ricordarlo e rendergli omaggio perché ci piace immaginarlo tormentato
dalla dolorosa contrapposizione al Maestro ma irresistibilmente mosso
dall'insofferenza per le pratiche superstiziose della scuola e - lui sì
- già da un barlume di spirito scientifico.
Ma perché tanto scandalo, tanta severità, perché tanta
rabbia spinta sino all'omicidio nei confronti di un discepolo che infrangeva
una regola, sia pure fondamentale per la setta. come quella del segreto?
Perché...
Ma questa è una storia che va raccontata dall'inizio.
Pitagora immaginava - assai ragionevolmente, bisogna ammetterlo
- che i punti che costituiscono le cose avessero dimensioni esigue ma
finite, insomma reali: come pensare, infatti, all'esistenza di una cosa
concreta, percettibile ai sensi, toccabile, composta di parti prive di
dimensioni, di consistenza, prive cioè di esistenza reale?
Assurdo, non è vero?
Assurdo.
Come accettare la mostruosità (che Euclide fu costretto
a scrivere nei suoi Elementi e che tuttora i giovani imparano senza
battere ciglio da troppi insegnanti che senza battere ciglio la ripetono)
che il punto sia un ente senza dimensioni?
I punti di Pitagora sono, manco a dirlo, i numeri: che
egli immaginava disposti in figure geometriche: il nome di numero quadrato,
di numero cubo, ci deriva, attraverso le sorprendenti vie della memoria
e della dimenticanza storica, direttamente da questa usanza e da questa
concezione.
La celebre tetraktis era un numero triangolare
che si rappresentava così:
e ognuno vede come questa raffigurazione
ricordi il triangolo nel quale l'iconografia tradizionale inseriva l'occhio
di Dio.
Numeri, dunque, come punti; e punti come entità reali.
Questa la base del pitagorismo: che si direbbe, a prima
vista, solida e incrollabile. E invece si mostrò straordinariamente fragile:
e a rivelarne l'inconsistenza e a distruggerla per sempre fu proprio il
teorema di Pitagora.
Ci spiegheremo, per semplicità, facendo ricorso alla notazione
algebrica (anche se ci ripugna lievemente dal punto di vista della coerenza
storica perché essa fu conosciuta oltre 2.000 anni dopo Pitagora).
Se applichiamo l'arcinoto teorema a un quadrato e chiamiamo
l il lato e d la diagonale,
potremo scrivere:
d2
= l2.
Osserviamo, di passaggio, che d e
l possono essere sempre resi primi fra loro e
quindi se l'uno è pari l'altro deve essere dispari.
E' chiaro che, nella formula, d
essendo un doppio è il numero pari; mentre l è,
ovviamente, il dispari.
E su questo punto, per quanto Pitagora disperato cercasse
l'errore che salvasse l'edificio prezioso della sua religione e della
sua filosofia, purtroppo né lui né nessun altro poté mai trovar niente
da ridire: e al mondo non poté venir risparmiato l'orrore che inevitabilmente
ne seguì e ne segue.
Pitagora procedendo nella sua terribile indagine continuava
a ragionare, come al solito affascinato dalle amicizie e inimicizie fra
i numeri:
se d è pari, si può esprimere
come tale: d = 2n.
Allora l'equazione già scritta diventa:
d2
=
4n2
ovvero
l2
=
2c2.
Riscrittura soltanto in apparenza neutra; in realtà esplosiva
e terribile, perché ci impone di considerare come numero pari l,
che avevamo dichiarato sicuramente dispari.
Noi sappiamo che questo assurdo accade, e ne siamo affascinati
come dal mistero e dalla poesia; e sappiamo che ciò che sconvolge le nostre
ragionevoli attese e le premesse poste dal buon senso e suscita la nostra
inquietudine è l'infinito contenuto nella radice di due.
Pitagora pensò forse a un maligno e minaccioso sortilegio,
e ad ogni modo comprese che questo poneva fine alla sua teoria e apriva
abissi spaventosi all'umana ragione; insultò il numero inaspettato chiamandolo
irrazionale - così come continuiamo a fare anche noi, anche se
la nostra indignazione s'è ormai stemperata nell'abitudine -; ma questo
non ne cancellò la realtà né i perversi effetti necessari: e gl'incommensurabili
imposero la loro presenza fra noi.
Noi non possiamo certo giustificare il comportamento distruttivo
e geloso dei membri della setta; ma il loro sgomento possiamo comprenderlo.
Lo sentiamo vibrare intatto nell'angoscioso grido di D-503,
protagonista del romanzo Noi di Evgenij Zamiatin: "Non voglio
la Ö-1! Toglietemi Ö-1".
Perché l'inquietudine, l'irritazione, il segreto, non
hanno fatto, da sempre, che crescere a ogni scoperta.
E continuano a rendere possibile, accanto all'inesauribile
percorso della conoscenza, il dramma vitale della parola stupefatta, l'assurdo
che nutre la poesia, l'eterna domanda che ci muove e innerva sulla nostra
capacità di meraviglia la nostra stessa sostanza d'uomini.
1. Questo articolo fa parte di una serie di piccoli
studi sulla matematica delle origini pubblicati da Vincenzo Gueglio sul
"Calendario del Popolo" fra 1980 e 1981 col titolo generale
"ALLE ORIGINI DELLA MATEMATICA, DAL CONCRETO ALL'ASTRATTO"
e derivanti da un Corso di Informazione sulla matematica
organizzato dal nostro Istituto e dedicato agli allievi: nel
quale Gueglio affiancò la professoressa Maria Enrica Macchiavello, che
fu ispiratrice e per tanta parte coautrice di questo lavoro.
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