I numeri complessi

I. Rappresentazione di una grandezza sinusoidale

La grandezza sinusoidale A(t) si può rappresentare come se fosse la proiezione sull'asse delle ordinate  di un vettore girevole a velocità angolare w costante, nel senso antiorario. La lunghezza del vettore in questione vale l'ampiezza A_m.

Per t=0, il vettore è orizzontale e orientato verso destra. Si denoterà in seguito la rappresentazione vettoriale di A così:

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Se si introduce uno sfasamento f tra due sinusoidi A(t)=A_m sin(wt) e B(t)=B_m sin(wt+f), i due vettori girano alla stessa velocità w conservando la loro posizione relativa. Se f è positivo, si dirà che è avanti di f su , considerato come riferimento. Se f è negativo, si dirà che è in ritardo su .

Nelle misure dove le posizioni relative sono conservate (stessa velocità angolare), generalmente si rappresentano i vettori rotanti per t=0

II. Rappresentazione simbolica: numeri complessi

A partire da questo punto, le sinusoidi avranno tutte la stessa velocità angolare.

La posizione occupata nel diagramma vettoriale da ciascun vettore è caratterizzata, per esempio, dalle sue proiezioni sui 2 assi perpendicolari (orizzontale e verticale).

Si può utilizzare la simbologia dei numeri complessi per rappresentare la grandezza sinusoidale così: A(t)=A_m sin(wt+a) passando attraverso l'analisi della sua rappresentazione vettoriale per t=0.

	la componente che segue l'asse orizzontale o reale è a la componente che segue l'asse verticale o immaginario è b il numero complesso si scrive:    = a + j b j è l'operatore che "indica" che b deve essere riportato sull'asse immaginario
	Se una grandezza a è ruotata di 90° verso l'avanti, essa diventa ja. Una nuova rotazione di 90° verso l'avanti restituirà  j(ja) che deve essere uguale a -a :   j*j=-1 o ancora

Qualche definizione:

il modulo di restituisce l'ampliezza:

l'argomento di restituisce lo sfasamento:

e qualche relazione:

La rappresentazione vettoriale dei numeri complessi è intuitiva: essa permette una rappresentazione chiara per situazioni a volte complicate. La rappresentazione simbolica dei numeri complessi, invece, si rivela utile quando si tratta di fare dei calcoli.

III. Rappresentazione esponenziale dei numeri complessi

Partendo dagli sviluppi in serie delle funzioni esponenziale, sin e cos, si arriva all'espressione esponenziale dei numeri complessi:

IV. Operazioni con i numeri complessi

sono i 2 numeri complessi per i quali si definiscono le operazioni di addizione, di sottrazione, de moltiplicazione e di divisione.

Addizione

Sottrazione

Moltiplicazione

Divisione