Trigonometria piana  

Archi e angoli Definizione delle funzioni trigonometriche Relazioni trigonometriche I triangoli

Indice Triangoli rettangoli Triangoli qualunque

I. Archi e angoli

• Angoli orientati

In geometria euclidea, un angolo piano XOP è la figura formata da due semi-rette che escono dallo stesso punto O. Il punto O è chiamato vertice dell'angolo e le semi-rette sono i suoi lati.

Questa nozione non chiama in causa nessuna scelta di orientamento.
In trigonometria e in geometria analitica, al contrario, si utilizzano gli angoli orientati. Un angolo piano è considerato come generato dalla rotazione sul piano di una semi-retta a partire dalla posizione iniziale OX fino alla posizione finale OP. Allora: O è sempre chiamato vertice, OX è chiamata origine e OP è l'estremità dell'angolo.

(1)

(2)

L'angolo così orientato è considerato come positivo (1) se il senso di rotazione (indicato con la freccia) è il senso contrario al movimento delle lancette di un orologio e come negativo (2) se il senso di rotazione è quello concorde al movimento delle lancette dell'orologio.

• Misura degli angoli

Un angolo sessagesimale °  è definito come la misura di un angolo al centro di un cerchio e che intercetta un arco uguale a 1/360 della circonferenza del cerchio. Un minuto ' è uguale a 1/60 di grado sessagesimale e un secondo " vale 1/60 di minuto.

Un radiante rad è definito come la misura dell'angle al centro che intercetta un arco di cerchio di lunghezza uguale al raggio dello stesso cerchio. La lunghezza della circonferenza di un cerchio sottende un angolo uguale a 2p radianti. Questo angolo corrisponde a un angolo di 360° sessagesimali o sessadecimali.

• Conversione tra gradi sessagesimali e radianti

        Siccome 2p radianti = 360°, con p =3.14159 allora si ha:

1^rad radiante = 180°/p^rad =57°.296 (sessadecimali) = 57° 17' 45",3 (sessagesimali)
1° (sessadecimale) = p^rad/180° = 0^rad.017453 (radianti)

• Lunghezza di un arco

In un cerchio di raggio r, sia a radianti un angolo al centro: la lunghezza dell'arco intercettato sulla circonferenza vale s=r.arad dove a è espresso in radianti.

II. Definizione delle funzioni trigonometriche

• Piano di lavoro

x,y sono le coordinate cartesiane ortogonali di un punto M è il modulo del vettore OM

• Definizioni

• Segno dei numeri trigonometrici

2º quadrante sin > 0 cos < 0 tg < 0	1º quadrante sin > 0 cos > 0 tg > 0
3º quadrante sin < 0 cos < 0 tg > 0	4º quadrante sin < 0 cos > 0 tg < 0

• Rappresentazione grafica delle variazioni delle funzioni trigonometriche

• Valori per qualche angolo ricorrente

Angolo in gradi sessadecimali Risultati

III.Relazioni trigonometriche

• Relazioni fondamentali tra le funzioni trigonometriche di uno stesso arco della circonferenza goniometrica

• Espressioni delle funzioni sin, cos, tg in funzione l'una dell'altra

Queste espressioni sono definite per 0 < a < p/2. Esse restano utilizzabili per altri valori di a a condizione di aggiustarne il segno.

• Relazioni

Periodicità

dove k è intero.

Funzioni trigonometriche di alcuni archi di circonferenza goniometrica

Somma e differenza di due archi di circonferenza goniometrica

Multipli di un arco di circonferenza goniometrica

Formula di Moivre

Doppio arco di circonferenza goniometrica

Trasformazione di una somma di funzioni trigonometriche in prodotto

Trasformazione di un prodotto di funzioni trigonometriche in somma

IV. I triangoli

• I triangoli rettangoli

Si consideri il triangolo rettangolo in a; si chiamino gli angoli acuti con b e g e i lati opposti agli angoli a,b,g, rispettivamente,  a,b,c.

Volete eseguire qualche esercizio sui triangoli rettangoli?

• I triangoli qualunque

Si consideri un triangolo qualunque. Si indichino con a,b,c le misure dei lati, con R la misura del raggio circoscritto, con r il raggio del cerchio inscritto e con p=(a+b+c)/2 il semi-perimetro.

Teorema del seno

I lati di un triangolo sono proporzionali al seno degli angoli opposti.

Teorema del coseno (Carnot)

Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati dei due altri lati diminuita del doppio prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo da essi formato.

Area di un triangolo

L'area di un triangolo è uguale  al semi-prodotto di 2 lati per il seno dell'angolo tra essi formato.

Espressione di funzioni trigonometriche degli angoli in funzione dei lati

Area di un triangolo in funzione dei lati

Identità ricorrenti

Volete eseguire qualche esercizio sui triangoli qualunque?